Cho x,y,z>0 thoả mãn x+y+z=1, tìm gtln P=$\frac{x}{x+1}$+$\frac{y}{y+1}$+ $\frac{z}{z+1}$ 23/11/2021 Bởi Melody Cho x,y,z>0 thoả mãn x+y+z=1, tìm gtln P=$\frac{x}{x+1}$+$\frac{y}{y+1}$+ $\frac{z}{z+1}$
Đáp án + Giải thích các bước giải: Ta có: $\dfrac{x}{x+1}=1-\dfrac{1}{x+1}$ $\dfrac{y}{y+1}=1-\dfrac{1}{y+1}$ $\dfrac{z}{z+1}=1-\dfrac{1}{z+1}$ $⇒\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}=1-\dfrac{1}{x+1}+1-\dfrac{1}{y+1}+1-\dfrac{1}{z+1}=3-(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1})$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta được: $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}≥\dfrac{(1+1+1)^2}{x+y+z+3}=\dfrac{9}{4}$ $⇔-(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}≤-\dfrac{9}{4}$ $⇔3-(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1})≤\dfrac{3}{4}$ $⇔\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}≤\dfrac{3}{4}$ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases} x+1=y+1=z+1 \\ x+y+z=1 \end{cases}$ $⇔x=y=z=\dfrac{1}{3}$ Vậy $P_{max}=\dfrac{3}{4}⇔x=y=z=\dfrac{1}{3}$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Chúc bạn học tốt^^
Đáp án + Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\dfrac{x}{x+1}=1-\dfrac{1}{x+1}$
$\dfrac{y}{y+1}=1-\dfrac{1}{y+1}$
$\dfrac{z}{z+1}=1-\dfrac{1}{z+1}$
$⇒\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}=1-\dfrac{1}{x+1}+1-\dfrac{1}{y+1}+1-\dfrac{1}{z+1}=3-(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1})$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta được:
$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}≥\dfrac{(1+1+1)^2}{x+y+z+3}=\dfrac{9}{4}$
$⇔-(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}≤-\dfrac{9}{4}$
$⇔3-(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1})≤\dfrac{3}{4}$
$⇔\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}≤\dfrac{3}{4}$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases} x+1=y+1=z+1 \\ x+y+z=1 \end{cases}$
$⇔x=y=z=\dfrac{1}{3}$
Vậy $P_{max}=\dfrac{3}{4}⇔x=y=z=\dfrac{1}{3}$