Cho x,y,z>0 thoả mãn x+y+z=1, tìm gtln P=$\frac{x}{x+1}$+$\frac{y}{y+1}$+ $\frac{z}{z+1}$

0 bình luận về “Cho x,y,z>0 thoả mãn x+y+z=1, tìm gtln P=$\frac{x}{x+1}$+$\frac{y}{y+1}$+ $\frac{z}{z+1}$”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Chúc bạn học tốt^^

    

   Trả lời

2. Đáp án + Giải thích các bước giải:

   Ta có: 

   $\dfrac{x}{x+1}=1-\dfrac{1}{x+1}$

   $\dfrac{y}{y+1}=1-\dfrac{1}{y+1}$

   $\dfrac{z}{z+1}=1-\dfrac{1}{z+1}$

   $⇒\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}=1-\dfrac{1}{x+1}+1-\dfrac{1}{y+1}+1-\dfrac{1}{z+1}=3-(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1})$

   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta được:

   $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}≥\dfrac{(1+1+1)^2}{x+y+z+3}=\dfrac{9}{4}$

   $⇔-(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}≤-\dfrac{9}{4}$

   $⇔3-(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1})≤\dfrac{3}{4}$

   $⇔\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}≤\dfrac{3}{4}$

   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases} x+1=y+1=z+1 \\ x+y+z=1 \end{cases}$

   $⇔x=y=z=\dfrac{1}{3}$

   Vậy $P_{max}=\dfrac{3}{4}⇔x=y=z=\dfrac{1}{3}$

    

   Trả lời