cho x,y,z dương x ≥y và x ≥z và x ≥1 chứng minh x ²+y ²+z ²-xy-yz-zx+x+y+z-2 ≥0

Giải thích các bước giải:

Cho $x,y,z >0$ và $x ≥ y$ $, x ≥ z$ $,x ≥ 1$

CM: $A =x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx+x+y+z-2 ≥ 0$

ta có: $x-x≥y-1≥0$

$⇔x-y≥x-1$

$0≥0$ (luộn đúng)

$A=\frac{1}{2}(x+y+z)^2+\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)-xy-yz-zx+x+y+z-2 ≥ 0$

$A=\frac{1}{2}(x+y+z)^2+ \frac{1}{2}(x-y-z)^2+x+y+z-2 ≥ 0$

$A≥\frac{1}{2}(x+y+z)^2+\frac{1}{2}(x-y-z)^2+y+y+z-2 ≥ 0$

$A≥\frac{1}{2}(x+y+z)^2+\frac{1}{2}(x-y-z)^2+2(y-1)+z ≥ 0$

$⇒A ≥ 0$ (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=1$