Cho x, y, z > 0 thỏa mãn $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ +$\frac{1}{z}$ = 1 và x+y+z=1 Chứng minh rằng: $(x-1)(y-1)(z-1)=0$

0 bình luận về “Cho x, y, z > 0 thỏa mãn $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ +$\frac{1}{z}$ = 1 và x+y+z=1 Chứng minh rằng: $(x-1)(y-1)(z-1)=0$”

1. $\frac{1}{x}$ +$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$ =1

   ⇔$\frac{yz}{xyz}$ +$\frac{zx}{xyz}$+$\frac{xy}{xyz}$=1

   ⇔$\frac{xy+yz+zx}{xyz}$=1

   ⇒xy+yz+zx=xyz

   Ta có:

   xyz-xyz+1-1=0

   ⇔xyz-(xy+yz+zx)+(x+y+z)-1=0

   ⇔xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1=0

   ⇔xyz-xy-xz+x-yz+y+z-1=0

   ⇔xy(z-1)-x(z-1)-y(z-1)+(z-1)=0

   ⇔(z-1)(xy-x-y+1)=0

   ⇔(z-1)[x(y-1)-(y-1)]=0

   ⇔(z-1)(y-1)(x-1)=0

   Trả lời