Cho $z_{1}$ ,$z_{2}$ là hai số phức liên hợp của nhau đồng thời thỏa mãn $\frac{z_{1} }{z_{2}^{2}}$∈$R$ và |$z_{1}$-$z_{2}$|=$2\sqrt{3}$ .Tính môđun c

0 bình luận về “Cho $z_{1}$ ,$z_{2}$ là hai số phức liên hợp của nhau đồng thời thỏa mãn $\frac{z_{1} }{z_{2}^{2}}$∈$R$ và |$z_{1}$-$z_{2}$|=$2\sqrt{3}$ .Tính môđun c”

1. Đáp án:

   $|z_1| = 2$

   Giải thích các bước giải:

   Gọi $z_1 = a + bi\ \ (a;b\in\Bbb R)$

   $\Rightarrow z_2 = \overline{z_1} = a – bi$

   Ta có:

   $+)\quad |z_1 – z_2| = 2\sqrt3$

   $\Leftrightarrow |2bi| = 2\sqrt3$

   $\Leftrightarrow |b| = \sqrt3$

   $\Leftrightarrow b^2 = 3$

   $\Rightarrow b = \pm \sqrt3$

   $+)\quad \dfrac{z_1}{z_2^2}$

   $= \dfrac{a+bi}{(a-bi)^2}$

   $= \dfrac{a+bi}{a^2 – b^2 – 2abi}$

   $= \dfrac{a^3 – 3ab^2 + (a^2b – b^3 + 2a^2b)i}{(a^2 – b^2)^2 + 4a^2b^2}$

   $\dfrac{z_1}{z_2^2} \in \Bbb R \Leftrightarrow a^2b – b^3 + 2a^2b = 0$

   Với $b = \sqrt3 \Rightarrow a^2\sqrt3 – 3\sqrt3 + 2a^2\sqrt3 = 0 \Leftrightarrow a^2 = 1$

   Với $b = -\sqrt3 \Rightarrow – a^2\sqrt3 + 3\sqrt3 – 2a^2\sqrt3 = 0 \Leftrightarrow a^2 = 1$

   Khi đó:

   $|z_1| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$

   Bình luận

2. Đáp án + Giải thích các bước giải:

    Gọi $z_1=a+bi \ (a;b \in \mathbb{R})$

   $⇒ z_2=a-bi$

   +) $|z_1-z_2|=2\sqrt 3⇔ |z_1-z_2|=|2b|=2\sqrt 3 ⇔ |b|=\sqrt{3} ⇔ b^2=3$

   +) $\dfrac{z_1}{z^2_2}=\dfrac{a+bi}{(a-bi)^2}=\dfrac{a^3-3ab^2}{(a^2+b^2)^2}+\dfrac{(3a^2-b^3)bi}{(a^2+b^2)^2} $

   \(⇒ (3a^2-b^2)b = 0 ⇔ \left[ \begin{array}{l}3a^2-b^2=0\\b=0\end{array} \right.\) 

   Với $3a^2-b^2=0 ⇔ 3a^2=b^2 ⇔ a^2=1$

   Với $b=0 ⇔ z_1=z_2=a$ (loại vì $|z_1-z_2|\ne 2\sqrt 3$)

   Khi đó: $|z_1| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$

   Bình luận