chứng minh 1/2^2+1/3^2+1/4^2+..+1/2020^2<3/4

0 bình luận về “chứng minh 1/2^2+1/3^2+1/4^2+..+1/2020^2<3/4”

1. Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{n+1-n}{n(n+1)}=\dfrac{n+1}{n(n+1)}-\dfrac{n}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$

   Mà:

   $P=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+..+\dfrac{1}{2020^2}$

   $\rightarrow P<\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}+..+\dfrac{1}{2020^2}$ 

   $\rightarrow P<\dfrac{1}{3.3}+\dfrac{1}{4.4}+\dfrac{1}{5.5}+..+\dfrac{1}{2020.2020}$ 

   $\rightarrow P<\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{4.5}..+\dfrac{1}{2019.2020}$ 

   $\rightarrow P<\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}..+\dfrac{1}{2019}-\dfrac{1}{2020}$ 

   $\rightarrow P<\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2020}<\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{4}$

   $\rightarrow đpcm$ 

   Trả lời

2. Đáp án + Giải thích các bước giải:
   Đặt `A=1/2^2+1/3^2+1/4^2+..+1/2020^2`
   Với mọi số tự nhiên ta luôn có `:` `(n-1)^2<n^2<(n+1)^2`
   `=>` `1/((n+1)^2)<1/n^2<1/((n-1)^2)`
   Áp dụng ta có `:`
   `=>`$ A<\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}+..+\dfrac{1}{2020^2}$

   `=>` `A<1/2.3+1/3.4+1/4.5+…+1/2019.2020`

   `=>` `A<1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+…+1/2019-1/2020`

   `=>` `A<1/2-1/2020<1/2<3/4`

   `=>` `\text{ĐPCM}`

   Vậy `A<3/4`

   Trả lời