Chứng minh 1, |a-2b| +|b-2c+|c-2a| ≥|a|+|b|+|c| 2,|a-b|+|b-c|+|c-a| ≥2|a|+2|b|+2|c|-|a+b|-|b+c|-|c+a| Giúp vs ạ 5* ko nuốt lời

0 bình luận về “Chứng minh 1, |a-2b| +|b-2c+|c-2a| ≥|a|+|b|+|c| 2,|a-b|+|b-c|+|c-a| ≥2|a|+2|b|+2|c|-|a+b|-|b+c|-|c+a| Giúp vs ạ 5* ko nuốt lời”

1. Giải thích các bước giải:

   Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức $|a|-|b|\le |a-b|$

   Ta có: $ab\le |ab|$

   $\to 2ab\le 2|ab|$

   $\to -2ab\ge -2|a||b|$

   $\to a^2+b^2-2ab\ge a^2+b^2-2|a||b|$

   $\to a^2+b^2-2ab\ge |a|^2+|b|^2-2|a||b|$

   $\to (a-b)^2\ge (|a|-|b|)^2$

   $\to |a-b|\ge ||a|-|b||\ge |a|-|b|$

   $\to đpcm$

   1.Áp dụng bất đẳng thức $|a|-|b|\le |a-b|$.Ta có:

   $|a-2b|+|b-2c|+|c-2a|$

   $=|2b-a|+|2c-b|+|2a-c|$

   $\ge (|2b|-|a|)+(|2c|-|b|)+(|2a|-|c|)$

   $\ge (2|b|-|a|)+(2|c|-|b|)+(2|a|-|c|)$

   $\ge 2|b|-|a|+2|c|-|b|+2|a|-|c|$

   $\ge |a|+|b|+|c|$

   2.Áp dụng bất đẳng thức $|a|-|b|\le |a-b|$ ta có:$

   $2|a|-|a+b|=|2a|-|a+b|\le |2a-(a+b)|=|a-b|$

   $2|b|-|b+c|=|2b|-|b+c|\le |2b-(b+c)|=|b-c|$

   $2|c|-|c+a|=|2c|-|c+a|\le |2c-(c+a)|=|c-a|$

   Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên

   $\to 2|a|+2|b|+2|c|-|a+b|-|b+c|-|c+a|\le |a-b|+|b-c|+|c-a|$

   Trả lời