chứng minh bất đẳng thức A=(a+b)(1/a +1/b) ≥ 4 B= (a+b)/c +(b+c)/a + (c+a)/b ≥ 6 (a,b,c > 0) 20/10/2021 Bởi Adeline chứng minh bất đẳng thức A=(a+b)(1/a +1/b) ≥ 4 B= (a+b)/c +(b+c)/a + (c+a)/b ≥ 6 (a,b,c > 0)
a) `(a+b)(1/a+1/b)≥4` (@) `⇔1/a+1/b≥4/(a+b)` `⇒b(a+b)+a(a+b)≥4ab` `⇔ab+b^2+a^2+ab≥4ab` `⇔a^2-2ab+b^2≥0` `⇔(a-b)^2≥0` (luôn đúng) ⇒Bất đẳng thức @ đúng b) `(a+b)/c +(b+c)/a + (c+a)/b = a/c+b/c+b/a+c/a+c/b+a/b` Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: `a/c+c/a≥2√(a/c.c/a)=2` Tương tự: `b/c+c/b≥2` `b/a+a/b≥2` `⇒a/c+b/c+b/a+c/a+c/b+a/b≥2+2+2=6` Bình luận
a)
`(a+b)(1/a+1/b)≥4` (@)
`⇔1/a+1/b≥4/(a+b)`
`⇒b(a+b)+a(a+b)≥4ab`
`⇔ab+b^2+a^2+ab≥4ab`
`⇔a^2-2ab+b^2≥0`
`⇔(a-b)^2≥0` (luôn đúng)
⇒Bất đẳng thức @ đúng
b)
`(a+b)/c +(b+c)/a + (c+a)/b = a/c+b/c+b/a+c/a+c/b+a/b`
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`a/c+c/a≥2√(a/c.c/a)=2`
Tương tự:
`b/c+c/b≥2`
`b/a+a/b≥2`
`⇒a/c+b/c+b/a+c/a+c/b+a/b≥2+2+2=6`