Chứng minh BĐT sau bằng phương pháp biến đổi tương đương hoặc xét hiệu(ko dùng cô si)
Cho a,b,c >0
c/m
$\frac{bc}{a}$+$\frac{ac}{b}$ +$\frac{ab}{c}$ $≥a+b+c$
Phương pháp biến đổi tương đương nghĩa là
c/m A ≥B
⇔A-B ≥0
⇔$A ²_n+B ²_n$ ≥0 (luôn đúng)
Chứng minh BĐT sau bằng phương pháp biến đổi tương đương hoặc xét hiệu(ko dùng cô si) Cho a,b,c >0 c/m $\frac{bc}{a}$+$\frac{ac}{b}$ +$\frac{ab}{c}$
By Everleigh
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$⇔\dfrac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc} \geq a+b+c$
$⇔a^2b^2+c^2c^2+c^2a^2 \geq abc(a+b+c)$
$⇔2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2 \geq 2abc(a+b+c)$
$⇔(a^2b^2+b^2c^2-2ab^2c)+(a^2b^2+c^2a^2-2a^2bc)+(b^2c^2+c^2a^2-2abc^2) \geq 0$
$⇔(ab-bc)^2+(ab-ca)^2+(bc-ca)^2 \geq 0$ (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho được chứng minh
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
P/s: bình phương 2 vế thì như sau:
$⇔\dfrac{b^2c^2}{a^2}+\dfrac{a^2c^2}{b^2}+\dfrac{a^2b^2}{c^2}+2\dfrac{bc}{a}·\dfrac{ac}{b}+\dfrac{bc}{a}·\dfrac{ab}{c}+\dfrac{ac}{b}·\dfrac{ab}{c} \geq (a+b+c)^2$
$⇔\dfrac{b^2c^2}{a^2}+\dfrac{a^2c^2}{b^2}+\dfrac{a^2b^2}{c^2}+2a^2+2b^2+c^2 \geq a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
$⇔\left(\dfrac{b^2c^2}{a^2}-2bc+a^2 \right)+\left(\dfrac{c^2a^2}{b^2}-2ca+b^2 \right)+\left(\dfrac{a^2b^2}{c^2}-2ab+c^2 \right) \geq 0$
$⇔\left(\dfrac{bc}{a}-a \right)^2+\left(\dfrac{ca}{b}-b \right)^2+\left(\dfrac{ab}{c}-c \right)^2 \geq 0$ (luôn đúng)
Nhưng bình phương nhìn biểu thức xấu lắm