Chứng minh: $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+2(ab+bc+ca)$ $\geq 3(a^2+b^2+c^2)$ 18/08/2021 Bởi Claire Chứng minh: $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+2(ab+bc+ca)$ $\geq 3(a^2+b^2+c^2)$
Đáp án: Giải thích các bước giải: Áp dụng ct: $\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} ≥ ab + bc + ac$, ta có $\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} ≥ ab + bc + ac$ $<=> \frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} + 2(ab + bc + ac) ≥ 3(ab + bc + ac)$ (1) Ta cần chứng minh $a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ac$ (2) Từ (2) =>$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ≥ 0 $ (luôn đúng) => $3(a^2 + b^2 + c^2) ≥ 3(ab + bc + ac)$ (3) Từ (1) và (3) => $\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} + 2(ab + bc + ac) ≥ 3(a^2 + b^2 +c)2$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Áp dụng ct: $\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} ≥ ab + bc + ac$, ta có
$\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} ≥ ab + bc + ac$
$<=> \frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} + 2(ab + bc + ac) ≥ 3(ab + bc + ac)$ (1)
Ta cần chứng minh $a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ac$ (2)
Từ (2) =>$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ≥ 0 $ (luôn đúng)
=> $3(a^2 + b^2 + c^2) ≥ 3(ab + bc + ac)$ (3)
Từ (1) và (3) => $\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} + 2(ab + bc + ac) ≥ 3(a^2 + b^2 +c)2$