Chứng minh rằng: a. x2 + xy + y2 + 1 > 0 với mọi x, y b. x2 + 4y2 + z2 – 2x – 6z + 8y + 15 > 0 Với mọi x, y, z

0 bình luận về “Chứng minh rằng: a. x2 + xy + y2 + 1 > 0 với mọi x, y b. x2 + 4y2 + z2 – 2x – 6z + 8y + 15 > 0 Với mọi x, y, z”

1. ⇒(x−1)^2+4(y+1)^2+(z−3)^2≥0

   x^2+4y^2+z^2-2x-6z+8y+15

   =x^2+4y^2+z^2-2x-6z+8y+1+1+4+9

   =(x^2-2x+1)+(4y^2+8y+4)+(z^2-6z+9)+1

   =(x-1)^2+4(y+1)^2+(z-3^)2+1

   Ta thấy:(x−1)^2≥0

                 4(y+1)^2≥0

                (z−3)^ 2≥0

   {(x−1)^24(y+1)^2(z−3)^2≥0

   ⇒(x−1)^2+4(y+1)^2+(z−3)^2≥0

   ⇒(x−1)2+4(y+1)2+(z−3)2+1≥0+1=1>0

    

   Bình luận

2. a) $x^2+xy+y^2+1$

   $ = x^2+2.x.\dfrac{1}{2}y+\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{3y^2}{4}+1$

   $ = (x+\dfrac{1}{2}y)^2+\dfrac{3y^2}{4}+1 > 0 $

   b) $x^2+4y^2+z^2-2x-6z+8y+15$

   $ = (x^2-2x+1)+4.(y^2+2y+1)+(z^2-6z+9)+1$

   $ = (x-1)^2+4.(y+1)^2+(z-3)^2+1>0$

    

   Bình luận