Chứng minh rằng một đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn.
Chứng minh rằng một đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn.
By Madeline
By Madeline
Chứng minh rằng một đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Gọi số mặt của hình đa diện đã cho là a. Vì mỗi cạnh của tam giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai tam giác nên số cạnh C của đa diện là `C=\frac{3a}{2}.`
Vì C là số nguyên nên `3a \vdots 2` mà `3` không chia hết cho `2` nên `a \vdots 2`.
Vậy a là số chẵn hay tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn.
Gọi số mặt của đa diện (H) đã cho là m (m ∈ Z, m ≥ 4). Vì mỗi mặt của (H) có 3 cạnh nên số cạnh của (H) là 3m. Mặt khác, mỗi cạnh của (H) là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh thực sự của (H) là 3m/2.
Vì số cạnh phải là số tự nhiên nên 3m phải chia hết cho 2 hay m phải chia hết cho 2.
Nhự vậy m phải là một số chẵn.