Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 11, chia hết cho 31
0 bình luận về “Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 11, chia hết cho 31”
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Xét\(32\)số :
\(1\)
\(11\)
\(111\)
……….
\(\underbrace{111…111}_{\text{32 số}}\)
Vì ta có $32$ số, mà mỗi số khi chia cho $31$ có thể dư $0,1,….,30$ (\(31\) loại số dư) nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất \(\left [ \frac{32}{31} \right ]+1=2\) số có cùng số dư khi chia cho $31$
Gọi hai số đó là \(\underbrace{111….1}_{m}\) và \(\underbrace{111….1}_{n}\) với \(m< n\)
Khi đó: \(\underbrace{111….1}_{n}-\underbrace{111….1}_{m}\vdots 31\)
Vì ta có3232số, mà mỗi số khi chia cho3131có thể dư0,1,....,300,1,….,30(3131 loại số dư) nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất [3231]+1=2[3231]+1=2 số có cùng số dư khi chia cho3131
Gọi hai số đó là 111….1m111….1⏟m và 111….1n111….1⏟n với m<nm<n
Khi đó: 111….1n−111….1m⋮31111….1⏟n−111….1⏟m⋮31
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Xét \(32\) số :
\(1\)
\(11\)
\(111\)
……….
\(\underbrace{111…111}_{\text{32 số}}\)
Vì ta có $32$ số, mà mỗi số khi chia cho $31$ có thể dư $0,1,….,30$ (\(31\) loại số dư) nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất \(\left [ \frac{32}{31} \right ]+1=2\) số có cùng số dư khi chia cho $31$
Gọi hai số đó là \(\underbrace{111….1}_{m}\) và \(\underbrace{111….1}_{n}\) với \(m< n\)
Khi đó: \(\underbrace{111….1}_{n}-\underbrace{111….1}_{m}\vdots 31\)
\(\Leftrightarrow \underbrace{111….1}_{n}-\underbrace{111….1}_{m}\vdots 31\Leftrightarrow \left ( \frac{10^n-1}{9}-\frac{10^m-1}{9} \right )\vdots 31\)
\(\Leftrightarrow \left ( \frac{10^n-10^m}{9} \right )\vdots 31\Leftrightarrow \frac{10^m(10^{n-m}-1)}{9}\vdots 31\Rightarrow \frac{(10^{n-m}-1)}{9}\vdots 31\)
\(\Leftrightarrow \underbrace{111…1}_{n-m}\vdots 31\)
Do đó tồn tại số toàn chữ số $1$ chia hết cho $31$
Xét 3232 số :
11
1111
111111
……….
111…11132 số111…111⏟32 số
Vì ta có 3232 số, mà mỗi số khi chia cho 3131 có thể dư 0,1,....,300,1,….,30 (3131 loại số dư) nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất [3231]+1=2[3231]+1=2 số có cùng số dư khi chia cho 3131
Gọi hai số đó là 111….1m111….1⏟m và 111….1n111….1⏟n với m<nm<n
Khi đó: 111….1n−111….1m⋮31111….1⏟n−111….1⏟m⋮31
⇔111….1n−111….1m⋮31⇔(10n−19−10m−19)⋮31⇔111….1⏟n−111….1⏟m⋮31⇔(10n−19−10m−19)⋮31
⇔(10n−10m9)⋮31⇔10m(10n−m−1)9⋮31⇒(10n−m−1)9⋮31⇔(10n−10m9)⋮31⇔10m(10n−m−1)9⋮31⇒(10n−m−1)9⋮31
⇔111…1n−m⋮31⇔111…1⏟n−m⋮31
Do đó tồn tại số toàn chữ số 11 chia hết cho 31