Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n thì 2n + 1 và 4n + 4 nguyên tố cùng nhau

0 bình luận về “Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n thì 2n + 1 và 4n + 4 nguyên tố cùng nhau”

1. Đáp án:

   $\text{Gọi ƯCLN(2n+1; 4n+4)=d}$

   `=>` $\left\{\begin{matrix}2n+1 ⋮ d & \\4n+4 ⋮ d& \end{matrix}\right.$

   `=>` $\left\{\begin{matrix}4n+2 ⋮ d & \\4n+4 ⋮ d& \end{matrix}\right.$

   `=> (4n+4)-(4n+2) vdots d`

   `=> 2 vdots d`

   `=> d={1; 2}`

   Ta có: 

   $\left\{\begin{matrix}2n ⋮ 2 & \\1  \not{\vdots} 2& \end{matrix}\right.$

   `=> 2n+1` không `vdots 2`

   `=> d \ne 2`

   `=> d=1`

   `=> 2n + 1; 4n+ 4` $\text{ nguyên tố cùng nhau}$

   Trả lời

2. Bài làm:

   Gọi `d` là ƯC`(2n+1;4n+4)`

   Ta có:

   `2n+1` `⋮` `d`

   `=>2.(2n+1)` `⋮` `d`

   `=>4n+2` `⋮` `d`

   Và `4n+4` `⋮` `d`

   `=>(4n+4)-(4n+2)` `⋮` `d`

   `=>2` `⋮` `d`

   `=>` ƯC`(4n+4;4n+2)={1;2}`

   Có `2n` `⋮` `2`  và `1` không chia hết cho `2`

   `=>2n+1` không chia hết cho `2`

   `=>2 ∉ `ƯC`(2n+1;4n+4)`

   `=>` ƯC`(2n+1;4n+4)={1} `

   `=>2` số `2n + 1` và `4n+ 4` nguyên tố cùng nhau.

   Giải thích:

   Hai số được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng có ước chung lớn nhất bằng `1`.

   Trả lời