Chứng minh với mọi số thực a,b,c ta có: $ab+bc+ca\leq\dfrac{(a+b+c)^2}{3}$

Đáp án:

Bài này ta chỉ biến đổi tương đương mà ko dùng bđt Cauchy vì a,b,c thực; nên không được dùng bđt Cauchy. Khi biến đổi tương đương, ta nhân hai vế bđt ban đầu cho 3 là 1 số dương nên dấu bđt không đổi chiều và phép chứng minh là hoàn toàn chính xác.

Giải thích các bước giải:

$ab+bc+ca$ $\leq \frac{(a+b+c)^2}{3} \\ \leftrightarrow (a+b+c)^2$ $\geq 3(ab+bc+ca) \\ \leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\geq3(ab+bc+ca) \\ \leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\\ \leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ca) \\ \leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0$ là bđt đúng

Vậy ta có đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c.