CMR : các biểu thức sau ko phải là số nguyên
S = $\frac{3}{4}$ + $\frac{8}{9}$ + $\frac{15}{16}$ +……..+ $\frac{n ² – 1}{n ²}$ với n ∈N , n > 2
CMR : các biểu thức sau ko phải là số nguyên S = $\frac{3}{4}$ + $\frac{8}{9}$ + $\frac{15}{16}$ +……..+ $\frac{n ² – 1}{n ²}$ với n ∈N , n > 2
By Lydia
Tham khảo
`S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+….+\frac{n^2-1}{n^2}`
`⇒S=(1-\frac{1}{4})+(1-\frac{1}{9})+…+(1-\frac{1}{n^2})`
`⇒S=(1+1+…+1)-(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+….+\frac{1}{n^2})`
`⇒S=(1+1+…+1)-(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2})`
Để `S` không phải số nguyên
`⇔\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}` không phải số nguyên
Đặt ` A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}`
Xét `A`
`⇒A>\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+…+\frac{1}{n(n+1)}`
`⇒A>\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}`
`⇒A>\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}`
Vì `n>2⇒\frac{1}{n+1}<\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}`
`⇒A>\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}(1)`
Xét `A`
`⇒A<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+…+\frac{1}{(n-1)n}`
`⇒A<1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}`
`⇒A<1-\frac{1}{n}`
Vì `n>2⇒\frac{1}{n}<\frac{1}{2}`
`⇒A<1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(2)`
Từ `(1)(2)⇒\frac{1}{6}<A<\frac{1}{2}`
`⇒A` không phải số nguyên
`⇒S` không phải số nguyên
Đáp án :
`S` không là số nguyên
Giải thích các bước giải :
`+)`Ta có :
`n.(n-a)<n<n.(n+a)=>1/(n.(n-a))>1/n>1/(n.(n+a)) (a>0)`
`a/(n.(n+a))=1/n-1/(n+a)`
`S=3/4+8/9+(15)/(16)+…+(n^2-1)/n^2`
`=>S=(2^2-1)/2^2+(3^2-1)/3^2+(4^2-1)/4^2+…+(n^2-1)/n^2`
`=>S=1-1/2^2+1-1/3^2+1-1/4^2+…+1-1/n^2`
`=>S=\underbrace{1+1+1+…+1}-(1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2)`
Có `n` số `1`
`=>S=n-(1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2)`
Đặt `A=1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2`
`=>A<1/(1.2)+1/(2.3)+1/(3.4)+…+1/((n-1).n)`
`=>A<1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/(n-1)-1/n`
`=>A<1-1/(n+1)`
Vì `n > 2 => 1/(n+1) > 0`
`=>1-1/(n+1)<1`
`=>A<1`
Mà `S=n-A`
`=>S>n-1 (1)`
`+)A=1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2`
`=>A>1/(2.3)+1/(3.4)+1/(4.5)+…+1/(n.(n+1))`
`=>A>1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+…+1/n-1/(n+1)`
`=>A>1/2-1/(n+1)`
Vì `n > 2 => 1/(n+1) ≥ 1/3`
`=>1/2-1/3 > 0`
`=>A > 0`
Mà `S=n-A`
`=>S=n-0`
`=>S<n (2)`
Từ `(1) và (2)`
`=>n-1<S<n`
Mà `n-1` và `n` là hai số nguyên liên tiếp
`=>S` không là số nguyên
Vậy : `S` không là số nguyên