CMR : nếu đa thức P(x) = ax ³ + bx ² + cx + d có giá trị nguyên với mọi x là số nguyên thì 6a , 2b , a + b + c và d đều là các số nguyên . Điều ngược

$P(0)=d ∈ z$ (1)

$P(1)=a+b+c+d ∈ z $ (2)

$P=(-1)=-a+b-c+d$ (3)

Từ 1, 2 và 3

$=> 2b ∈ z, 2a +2c ∈ z$

$P(2)=8a+4b+2c+d=6a+4b+2a+2c+d ∈ z =>6a ∈ z$

Vậy $6a, 2b,a+b+c, d$ là số nguyên.

Điều ngược lại cũng đúng. Chứng minh định lý

$ P(x)=ax^3 -ax+bx^2-bx+ax+bx+cx+d$

    $ =ax(x-1)(x+1)+bx(x-1)(x-+1)+x(a+b+c)+d$

    $ =6a.(x-1)x(x+1)/6+2b.(x-1)/2+x(a+b+c)+d$ (*)

Do $(x-1)x(x+1)$ chia hết cho $6$ còn $ (x-1)x $ chia hết cho $2$ với mọi$ x ∈R$ .

Vì thế từ$ =>P(x)$ là số nguyên.