Giả sử n là số tự nhien Hãy chứng minh `1/2 + 1/(3sqrt2) + … + 1/((n+1)sqrtn )<2`

0 bình luận về “Giả sử n là số tự nhien Hãy chứng minh `1/2 + 1/(3sqrt2) + … + 1/((n+1)sqrtn )<2`”

1. Giải thích các bước giải:

   Xuất phát từ:` 1/((k+1)sqrtk) = sqrtk / ((k+1)k)`

   `= sqrtk * (1/sqrtk + 1/sqrt(k+1))(1/sqrtk+ 1/sqrt(k+1))`

   `= (1/sqrt(1/(k+1)))(1/sqrtk – 1/sqrt(k+1)) le 2(1/sqrtk – 1/sqrt(k+1))`

   `=> 1/((k+1 sqrtk)) < 2(1/sqrtk – 1/sqrt(k-1))` (1)

    Áp dụng bất đẳng thức (1) cho `k = 1,2,3,..,n` ta có:

   `1/2 < 2(1-1/sqrt2)`

   `1/(3sqrt2) < 2(1/sqrt2 – 1/sqrt3)`

   `+……..`

   `1/((n+1)sqrtn) < 2(1/sqrtn + 1/sqrt(n+1))`

   `1/2 + 1/(3sqrt2) + … + 1/((n+1)sqrtn )< 2(1-1/(sqrt(n+1))) <2`

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Đặt: Sn=1/(n+1)+1/(n+2)+..+1/(n+(2n+1)) 
   Ta dùng quy nạp để chứng minh S(n) > 1
   Với n = 1 thì S1 = 1/(1+1) + 1/(1+2) + 1/(1+3) = 13/12
   => 1 < S1 
   Ta giả sử Sn đúng đến n = k
   => 1 < 1/(k+1) + 1/(k+2) + …+ 1/(3k+1)) < 2
   Giờ ta chứng minh Sn đúng với n = k + 1
   Ta có: S(k+1) = 1/(k+2) + 1/(k+3) + … + 1/(3k+4)
   = (1/(k+1) + 1/(k+2) + …+ 1/(3k+1)) + (-1/(k+1) + 1/(3k+2) + 1/(3k+3) + 1/(3k+4))
   = S(k) – 1/(k+1) + 1/(3k+2) + 1/(3k+3) + 1/(3k+4) < S(k) <2

   Bình luận