Giá trị lớn nhất của m để phương trình ( m-1) x^2 -2(m+1 ) x +m=0 có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn /x1-x2/ > =2 là m=
Giá trị lớn nhất của m để phương trình ( m-1) x^2 -2(m+1 ) x +m=0 có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn /x1-x2/ > =2 là m=
By aihong
By aihong
Giá trị lớn nhất của m để phương trình ( m-1) x^2 -2(m+1 ) x +m=0 có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn /x1-x2/ > =2 là m=
Giải thích các bước giải:
Phương trình đã cho có 2 nghiệm \({x_1};\,\,{x_2}\) khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m – 1 \ne 0\\
\Delta ‘ \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
{\left( {m + 1} \right)^2} – \left( {m – 1} \right).m \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
{m^2} + 2m + 1 – {m^2} + m \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
3m + 1 \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge – \frac{1}{3}\\
m \ne 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)
\end{array}\)
Khi đó, phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{{m – 1}}\\
{x_1}{x_2} = \frac{m}{{m – 1}}
\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left| {{x_1} – {x_2}} \right| \ge 2\\
\Leftrightarrow {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} \ge 4\\
\Leftrightarrow {x_2}^2 – 2.{x_1}.{x_2} + {x_2}^2 \ge 4\\
\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} \ge 4\\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{{m – 1}}} \right)^2} – 4.\frac{m}{{m – 1}} \ge 4\\
\Leftrightarrow 4.{\left( {\frac{{m + 1}}{{m – 1}}} \right)^2} – 4.\frac{m}{{m – 1}} \ge 4\\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{{m + 1}}{{m – 1}}} \right)^2} – \frac{m}{{m – 1}} \ge 1\\
\Leftrightarrow \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2} – m\left( {m – 1} \right)}}{{m – 1}} \ge 1\\
\Leftrightarrow \frac{{{m^2} + 2m + 1 – {m^2} + m}}{{m – 1}} – 1 \ge 0\\
\Leftrightarrow \frac{{3m + 1 – \left( {m – 1} \right)}}{{m – 1}} \ge 0\\
\Leftrightarrow \frac{{2m + 2}}{{m – 1}} \ge 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m \le – 1
\end{array} \right.
\end{array}\)
Kết hợp ĐK (*) ta được \(m > 1\)
Do đó, không có giá trị lớn nhất của m thỏa mãn.