Giải hộ mình hệ phương trình này được không , mình cần gấp tí nữa nộp cho cô giáo nữa
(1) : √x-1 + √y-1 = 3
(2) : xy + y+x = x²-2y²
Giải hộ mình hệ phương trình này được không , mình cần gấp tí nữa nộp cho cô giáo nữa
(1) : √x-1 + √y-1 = 3
(2) : xy + y+x = x²-2y²
Giải thích các bước giải:
$DK:x,y \ge 1$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x – 1} + \sqrt {y – 1} = 3\\
xy + x + y = {x^2} – 2{y^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x – 1} + \sqrt {y – 1} = 3\\
{x^2} – xy – 2{y^2} – \left( {x + y} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x – 1} + \sqrt {y – 1} = 3\\
\left( {x + y} \right)\left( {x – 2y} \right) – \left( {x + y} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x – 1} + \sqrt {y – 1} = 3\\
\left( {x + y} \right)\left( {x – 2y – 1} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x – 1} + \sqrt {y – 1} = 3\\
\left[ \begin{array}{l}
x + y = 0\\
x – 2y – 1 = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x – 1} + \sqrt {y – 1} = 3\\
x = – y
\end{array} \right.\left( I \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x – 1} + \sqrt {y – 1} = 3\\
x = 2y + 1
\end{array} \right.\left( {II} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$
+) Giải $\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x – 1 + y – 1 + 2\sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {y – 1} \right)} = 3\\
x = – y
\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\sqrt {\left( { – y – 1} \right)\left( {y – 1} \right)} = 5\\
x = – y
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {1 – {y^2}} = \dfrac{5}{2}\left( {vn,do:1 – {y^2} \le 1,\forall y \Rightarrow \sqrt {1 – {y^2}} \le 1 < \dfrac{5}{2}} \right)\\
x = – y
\end{array} \right.
\end{array}$
$\to (I)$ vô nghiệm
+) Giải $\left( {II} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x – 1} + \sqrt {y – 1} = 3\\
x = 2y + 1
\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {2y} + \sqrt {y – 1} = 3\\
x = 2y + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2y + y – 1 + 2\sqrt {2y\left( {y – 1} \right)} = 9\\
x = 2y + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\sqrt {2y\left( {y – 1} \right)} = 10 – 3y\\
x = 2y + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
10 – 3y \ge 0\\
4.2y\left( {y – 1} \right) = {\left( {10 – 3y} \right)^2}\\
x = 2y + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y \le \dfrac{{10}}{3}\\
{y^2} – 52y + 100 = 0\\
x = 2y + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y \le \dfrac{{10}}{3}\\
\left( {y – 50} \right)\left( {y – 2} \right) = 0\\
x = 2y + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y \le \dfrac{{10}}{3}\\
\left[ \begin{array}{l}
y = 50\left( l \right)\\
y = 2\left( c \right)
\end{array} \right.\\
x = 2y + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 2\\
x = 5
\end{array} \right.\left( {tm} \right)
\end{array}$
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(5;2)$