Toán Giải pt: `9x^2=(x^2+x-5)(\sqrt(3x+1)-1)^2` 11/07/2021 By Katherine Giải pt: `9x^2=(x^2+x-5)(\sqrt(3x+1)-1)^2`
Đáp án: `S={0; 5}` Giải thích các bước giải: $9x^2=(x^2+x-5)(\sqrt{3x+1}-1)^2$ $(*)$ ĐK: $x \geq -\dfrac{1}{3}$ $(*) ⇔ (3x+1-1)^2=(x^2+x-5)(\sqrt{3x+1}-1)^2$ $⇔ (\sqrt{3x+1}-1)^2(\sqrt{3x+1}+1)^2=(x^2+x-5)(\sqrt{3x+1}-1)^2$ $(1)$ $*)$ Nếu $\sqrt{3x+1}-1=0$ thì $3x+1=1 ⇔ x=0$ $(tm)$ $*)$ Nếu $\sqrt{3x+1}-1 \neq 0$ thì: $(1) ⇔ (\sqrt{3x+1}+1)^2=x^2+x-5$ $⇔ 3x+2+2\sqrt{3x+1}=x^2+x-5$ $⇔ x^2-2x-7=2\sqrt{3x+1}$ $⇔ x^2-2x-15=2\sqrt{3x+1}-8$ $⇔ (x-5)(x+3)=\dfrac{12x+4-64}{2\sqrt{3x+1}+8}$ (do $2\sqrt{3x+1}+8 > 0$) $⇔ (x-5)(x+3)=\dfrac{12(x-5)}{2\sqrt{3x+1}+8}$ $.$ Nếu $x-5=0$ thì $x=5$ $(tm)$ $.$ Nếu $x-5 \neq 0 ⇔ x \neq 5$ thì phương trình trở thành $x+3=\dfrac{12}{2\sqrt{3x+1}+8}$ $⇔ (x+3)(\sqrt{3x+1}+4)=6$ $(2)$ Vì $x \geq \dfrac{-1}{3}$ nên `(x+3)(\sqrt{3x+1}+4) \geq (-\frac{1}{3}+3).4≈10,66 > 6` Vậy phương trình $(2)$ vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: `S={0; 5}` Trả lời
Điều kiện xác định $x\ge -\dfrac{1}{3}$ Xét $x=0$ là một nghiệm của phương trình Xét $x\ne 0$ phương trình tương đương với $\begin{array}{*{20}{l}} {9{x^2} = \left( {{x^2} + x – 5} \right){{\left( {\sqrt {3x + 1} – 1} \right)}^2}}\\ { \Leftrightarrow 9{x^2}{{\left( {\sqrt {3x + 1} + 1} \right)}^2} = {{\left( {\sqrt {3x + 1} – 1} \right)}^2}{{\left( {\sqrt {3x + 1} + 1} \right)}^2}\left( {{x^2} + x – 5} \right)}\\ { \Leftrightarrow 9{x^2}{{\left( {\sqrt {3x + 1} + 1} \right)}^2} = \left( {{x^2} + x – 5} \right){{\left( {3x + 1 – 1} \right)}^2}}\\ { \Leftrightarrow 9{x^2}{{\left( {\sqrt {3x + 1} + 1} \right)}^2} = \left( {{x^2} + x – 5} \right).9{x^2}}\\ { \Leftrightarrow {{\left( {\sqrt {3x + 1} + 1} \right)}^2} = {x^2} + x – 5}\\ { \Leftrightarrow 3x + 2 + 2\sqrt {3x + 1} = {x^2} + x – 5}\\ { \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 7 = 2\sqrt {3x + 1} }\\ { \Leftrightarrow 4\left( {3x + 1} \right) = {{\left( {{x^2} – 2x – 7} \right)}^2}}\\ { \Leftrightarrow 12x + 4 = {x^4} + 4{x^2} + 49 – 4{x^3} + 28x – 14{x^2}}\\ { \Leftrightarrow {x^4} – 4{x^3} – 10{x^2} + 16x + 45 = 0}\\ { \Leftrightarrow {x^4} – 5{x^3} + {x^3} – 5{x^2} – 5{x^2} + 25x – 9x + 45 = 0}\\ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x – 5} \right)\left( {{x^3} + {x^2} – 5x – 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 5\\ {x^3} + {x^2} – 5x – 9 = 0(1) \end{array} \right. \end{array} \end{array}$ Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình $x^2-2x-7=2\sqrt{3x+1}$ ta được điều kiện có nghiệm là $\begin{array}{l} {x^2} – 2x – 7 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le 1 – 2\sqrt 2 \\ x \ge 1 + 2\sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}$ Mà từ phương trình $x^3+x^2-5x-9=0$ có nghiệm $1-2\sqrt 2<x=2,4798…<1+2\sqrt 2$ nên không thỏa điều kiện có nghiệm. Vậy phương trình có hai nghiệm $x=0$ hoặc $x=5$ $S = \left\{ {0;5} \right\}$ Trả lời
Đáp án:
`S={0; 5}`
Giải thích các bước giải:
$9x^2=(x^2+x-5)(\sqrt{3x+1}-1)^2$ $(*)$
ĐK: $x \geq -\dfrac{1}{3}$
$(*) ⇔ (3x+1-1)^2=(x^2+x-5)(\sqrt{3x+1}-1)^2$
$⇔ (\sqrt{3x+1}-1)^2(\sqrt{3x+1}+1)^2=(x^2+x-5)(\sqrt{3x+1}-1)^2$ $(1)$
$*)$ Nếu $\sqrt{3x+1}-1=0$ thì $3x+1=1 ⇔ x=0$ $(tm)$
$*)$ Nếu $\sqrt{3x+1}-1 \neq 0$ thì:
$(1) ⇔ (\sqrt{3x+1}+1)^2=x^2+x-5$
$⇔ 3x+2+2\sqrt{3x+1}=x^2+x-5$
$⇔ x^2-2x-7=2\sqrt{3x+1}$
$⇔ x^2-2x-15=2\sqrt{3x+1}-8$
$⇔ (x-5)(x+3)=\dfrac{12x+4-64}{2\sqrt{3x+1}+8}$ (do $2\sqrt{3x+1}+8 > 0$)
$⇔ (x-5)(x+3)=\dfrac{12(x-5)}{2\sqrt{3x+1}+8}$
$.$ Nếu $x-5=0$ thì $x=5$ $(tm)$
$.$ Nếu $x-5 \neq 0 ⇔ x \neq 5$ thì phương trình trở thành
$x+3=\dfrac{12}{2\sqrt{3x+1}+8}$
$⇔ (x+3)(\sqrt{3x+1}+4)=6$ $(2)$
Vì $x \geq \dfrac{-1}{3}$ nên `(x+3)(\sqrt{3x+1}+4) \geq (-\frac{1}{3}+3).4≈10,66 > 6`
Vậy phương trình $(2)$ vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: `S={0; 5}`
Điều kiện xác định $x\ge -\dfrac{1}{3}$
Xét $x=0$ là một nghiệm của phương trình
Xét $x\ne 0$ phương trình tương đương với
$\begin{array}{*{20}{l}} {9{x^2} = \left( {{x^2} + x – 5} \right){{\left( {\sqrt {3x + 1} – 1} \right)}^2}}\\ { \Leftrightarrow 9{x^2}{{\left( {\sqrt {3x + 1} + 1} \right)}^2} = {{\left( {\sqrt {3x + 1} – 1} \right)}^2}{{\left( {\sqrt {3x + 1} + 1} \right)}^2}\left( {{x^2} + x – 5} \right)}\\ { \Leftrightarrow 9{x^2}{{\left( {\sqrt {3x + 1} + 1} \right)}^2} = \left( {{x^2} + x – 5} \right){{\left( {3x + 1 – 1} \right)}^2}}\\ { \Leftrightarrow 9{x^2}{{\left( {\sqrt {3x + 1} + 1} \right)}^2} = \left( {{x^2} + x – 5} \right).9{x^2}}\\ { \Leftrightarrow {{\left( {\sqrt {3x + 1} + 1} \right)}^2} = {x^2} + x – 5}\\ { \Leftrightarrow 3x + 2 + 2\sqrt {3x + 1} = {x^2} + x – 5}\\ { \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 7 = 2\sqrt {3x + 1} }\\ { \Leftrightarrow 4\left( {3x + 1} \right) = {{\left( {{x^2} – 2x – 7} \right)}^2}}\\ { \Leftrightarrow 12x + 4 = {x^4} + 4{x^2} + 49 – 4{x^3} + 28x – 14{x^2}}\\ { \Leftrightarrow {x^4} – 4{x^3} – 10{x^2} + 16x + 45 = 0}\\ { \Leftrightarrow {x^4} – 5{x^3} + {x^3} – 5{x^2} – 5{x^2} + 25x – 9x + 45 = 0}\\ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x – 5} \right)\left( {{x^3} + {x^2} – 5x – 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 5\\ {x^3} + {x^2} – 5x – 9 = 0(1) \end{array} \right. \end{array} \end{array}$
Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình $x^2-2x-7=2\sqrt{3x+1}$ ta được điều kiện có nghiệm là
$\begin{array}{l} {x^2} – 2x – 7 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le 1 – 2\sqrt 2 \\ x \ge 1 + 2\sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}$
Mà từ phương trình $x^3+x^2-5x-9=0$ có nghiệm $1-2\sqrt 2<x=2,4798…<1+2\sqrt 2$ nên không thỏa điều kiện có nghiệm. Vậy phương trình có hai nghiệm $x=0$ hoặc $x=5$
$S = \left\{ {0;5} \right\}$