Làm ạ Tìm đa thức bậc hai biết `f (x) – f (x – 1) = x` từ đó áp dụng tính tổng `S = 1 + 2 + 3 + … + n`

0 bình luận về “Làm ạ Tìm đa thức bậc hai biết `f (x) – f (x – 1) = x` từ đó áp dụng tính tổng `S = 1 + 2 + 3 + … + n`”

1. Đáp án:

   `f(x)=1/ 2 x^2+1/ 2 x+c` `(c\in RR` bất kỳ)

   `S=1+2+3+…+n={n(n+1)}/2`

   Giải thích các bước giải:

   Vì `f(x)` là đa thức bậc hai

   `=>f(x)=ax^2+bx+c` `(a;b;c\in RR; a\ne 0)`

   `=>f(x-1)=a(x-1)^2+b(x-1)+c`

   `=>f(x-1)=a(x-1)(x-1)+b(x-1)+c`

   `=>f(x-1)=a(x^2-x-x+1)+bx-b+c`

   `=>f(x-1)=ax^2-2ax+a+bx-b+c`

   `=>f(x-1)=ax^2+(b-2a)x+a-b+c`

   Theo đề bài:

   `\qquad f(x)-f(x-1)=x`

   `<=>(ax^2+bx+c)-[ax^2+(b-2a)x+a-b+c]=x`

   `<=>2ax-a+b=x`

   `<=>`$\begin{cases}2a=1\\-a+b=0\end{cases}$

   `<=>`$\begin{cases}a=\dfrac{1}{2}\\b=a=\dfrac{1}{2}\end{cases}$

   Vậy `f(x)=1/ 2 x^2+1/ 2 x+c` `(c\in RR` bất kỳ)

   $\\$

   Với `x=n` ta có: `f(n)=1/ 2 n^2+1/ 2 n+c`

   Với `x=0` ta có: `f(0)=1/ 2 .0^2+1/ 2 .0+c=0`

   $\\$

   Vì `x=f(x)-f(x-1)` nên ta có:

   +) `x=1=>1=f(1)-f(0)`

   +) `x=2=>2=f(2)-f(1)`

   +) `x=3=>3=f(3)-f(2)`

   ……

   +) `x=n-1=>n-1=f(n-1)-f(n-2)`

   +) `x=n=>n=f(n)-f(n-1)`

   `=>S=1+2+3+…+(n-1)+n=f(1)-f(0)+f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+…+f(n-1)-f(n-2)+f(n)-f(n-1)`

   `=>S=f(n)-f(0)`

   `=>S=(1/ 2 n^2+1/ 2 n+c)-c=(n^2+n)/2`

   `=>S={n(n+1)}/2`

   Vậy `f(x)=1/ 2 x^2+1/ 2 x+c` `(c\in RR` bất kỳ)

   `\qquad S=1+2+3+…+n={n(n+1)}/2`

   Trả lời