Một người muốn làm một chiếc quạt có chu vi là 80cm . Tìm số đo của góc AOB sao cho diện tích của chiếc quạt lớn nhất .
Một người muốn làm một chiếc quạt có chu vi là 80cm . Tìm số đo của góc AOB sao cho diện tích của chiếc quạt lớn nhất .
Giải thích các bước giải:
Gọi x là bán kính quạt, y là độ dài cung tròn
Ta có chu vi quạt là 2x+y=80
ta có công thức tính diện tích hình quạt:
$S = \frac{{\pi {x^2}\alpha }}{{360}}$ và độ dài cung tròn: $y = \frac{{2\pi x\alpha }}{{360}}$
Ta có:
$\begin{array}{l} \frac{{2\pi x\alpha }}{{360}} + 2x = 80\\ \Leftrightarrow \alpha = \frac{{14400 – 360x}}{{2\pi x}}\\ \Rightarrow S = \frac{{\pi {x^2}\alpha }}{{360}} = \frac{{\pi .{x^2}.\frac{{14400 – 360x}}{{2\pi x}}}}{{360}}\\ = \frac{{(40 – x)x}}{2} = \frac{{ – {x^2} + 40x}}{2} = \frac{{ – ({x^2} – 40x + 400)}}{2} + 200 \end{array}$
$ = \frac{{ – {{(x – 20)}^2}}}{2} + 200$
Vì $\frac{{ – {{(x – 20)}^2}}}{2} \le 0\forall x$
=> S≤200∀x
dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=20
=> $\alpha = \frac{{180}}{\pi }$