$\text{Cho 3 số a,b,c là các số dương thỏa mãn thỏa mãn:}$
$\text{$a^{4}$+ $b^{4}$ +$c^{4}$ = 3}$
$\text{CMR: $\frac{1}{4-ab}$ + $\frac{1}{4-bc}$ + $\frac{1}{4-ca}$ $\leq$ 1}$
$\text{Cho 3 số a,b,c là các số dương thỏa mãn thỏa mãn:}$ $\text{$a^{4}$+ $b^{4}$ +$c^{4}$ = 3}$ $\text{CMR: $\frac{1}{4-ab}$ + $\frac{1}{4-bc}$ + $\
By Adalyn
Đáp án:
Ta có :
`1/(4 – ab) + 1/(4 – bc) + 1/(4 – ca) <= 1`
`<=> (4 – bc)(4 – ca) + (4 – ab)(4 – ca) + (4 – ab)(4 – bc) <= (4 – ab)(4 – bc)(4 – ca)`
`<=> 48 – 8(ab + bc + ca) + (a + b+ c)abc <= 64 – 16(ab+ bc+ ca) + 4(a + b + c)abc – a^2b^2c^2`
`<=> 16 + 3(a + b + c)abc ≥ a^2b^2c^2 + 8(ab + bc + ca)`
Áp dụng BĐT ` Cô si ` ta có :
`3 = a^4 + b^4 + c^4 >= ` $3\sqrt[3]{(abc)^4}$
`-> 1 ≥ a^2b^2c^2 (4)`
Mặt khác , Áp dụng BĐT `Schur` ta có :
`(a^3 + b^3 + c^3 + 3abc)(a + b + c) ≥ [ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)](a + b + c)`
`<=> a^4 + b^4 + c^4 + ab^3 + c^3a+ ba^3 + bc^3 + ca^3 + cb^3 + 3abc(a + b + c) >= 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2bc + 2ab^2c + 2abc^2 + ab^3 + c^3a+ ba^3 + bc^3 + ca^3 + cb^3`
`<=> 3 + 3abc(a +b + c) >= (ab + bc)^2 + (bc + ca)^2 + (ca +ab)^2`
`<=> 15 + 3abc(a + b + c) ≥ (ab + bc)^2 + (bc + ca)^2 + (ca +ab)^2 + 12 (1)`
Áp dụng BĐT ` Cô si ` ta có :
`(ab + bc)^2 + 4 ≥ 2\sqrt{(ab + bc)^2 . 4} = 4(ab + bc)`
`(bc + ca)^2 + 4 ≥ 2\sqrt{(bc+ ca)^2 . 4} = 4(bc + ca)`
`(ca + ab)^2 + 4 ≥ 2\sqrt{(ca+ ab)^2 . 4 } = 4(ca + ab)`
Cộng vế theo vế ta được
`(ab + bc)^2 + (bc + ca)^2 + (ca +ab)^2 + 12 ≥ 8(ab + bc + ca) (2)`
Từ `(1)(2) -> 15 + 3abc(a + b + c) ≥ 8(ab + bc + ca) (3)`
Đem `(3) + (4)` , ta được :
`16 + 3abc(a + b + c) ≥ a^2b^2c^2 + 8(ab + bc+ ca) (đ.p.c.m)`
Vậy bài toàn đã được `cm`
Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c = 1`
Giải thích các bước giải: