`text{ Cho a, b, c thoả mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: }` `P=\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}`

`text{ Cho a, b, c thoả mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: }`
`P=\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}`

0 bình luận về “`text{ Cho a, b, c thoả mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: }` `P=\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}`”

  1. Đáp án:

     

    Giải thích các bước giải:

     Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:

    Với mọi số thực dương $x;y$ ta luôn có: $x^5+y^5\geq x^2y^2(x+y)$

    Thật vậy, BĐT đã cho tương đương:

    $x^5+y^5 \geq x^3y^2+x^2y^3⇔x^5-x^3y^2+y^5-x^2y^3 \geq 0$

    $⇔x^3(x^2-y^2)-y^3(x^2-y^2) \geq 0$

    $⇔(x^3-y^3)(x^2-y^2) \geq 0$

    $⇔(x-y)(x^2+xy+y^2)(x-y)(x+y) \geq 0$

    $⇔(x-y)^2(x+y)(x^2+xy+y^2) \geq 0$ (luôn đúng)

    Vậy bổ đề đã được chứng minh xong.

    Áp dụng vào bài toán ta có:

    $a^5+b^5+ab \geq a^2b^2(a+b)+ab ⇒\dfrac{ab}{a^5+b^5+ab} \leq \dfrac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}$

    $⇔\dfrac{ab}{a^5+b^5+ab} \leq \dfrac{1}{ab(a+b)+1}=\dfrac{c}{abc(a+b)+c}$

    $⇔\dfrac{ab}{a^5+b^5+ab}  \leq \dfrac{c}{a+b+c}$ (do $abc=1$)

    Hoàn toàn tương tự ta có:

    $\dfrac{bc}{b^5+c^5+bc} \leq \dfrac{a}{a+b+c}$

    $\dfrac{ca}{c^5+a^5+ca} \leq \dfrac{b}{a+b+c}$

    Cộng vế với vế:

    $⇒P \leq \dfrac{c}{a+b+c}+\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1$

    Vậy $P_{max}=1$ khi $a=b=c=1$

    Bình luận

Viết một bình luận