Toán Tìm m để y=1/3x^3-1/2mx^2-(2m-1)x+1/3 đồng biến trên (1;+vô cùng) 02/12/2021 By Katherine Tìm m để y=1/3x^3-1/2mx^2-(2m-1)x+1/3 đồng biến trên (1;+vô cùng)
Đáp án: $m \leq \dfrac23$ Giải thích các bước giải: $y =\dfrac13x^3 – \dfrac12mx^2 – (2m-1)x +\dfrac13$ $y’ = x^2 – mx – 2m +1$ Hàm số đồng biến trên $(1;+\infty)$ $\to y’ \geq 0\quad \forall x \in (1;+\infty)$ $\to x^2 – mx – 2m + 1 \geq 0\quad \forall x \in (1;+\infty)$ $\to m \leq \dfrac{x^2 +1}{x +2}\quad \forall x \in (1;+\infty)$ $\to m \leq \mathop{\min}\limits_{x\in (1;+\infty)}\dfrac{x^2 +1}{x+2}$ Xét $f(x) = \dfrac{x^2 +1}{x+2}$ $f'(x) = \dfrac{x^2 + 4x -1}{(x+2)^2}$ $f'(x) = 0 \to \left[\begin{array}{l}x = -2-\sqrt5 \not\in (1;+\infty)\\x = -2 +\sqrt5 \not\in (1;+\infty)\end{array}\right.$ $\to f(x)$ đồng biến trên $(-2+\sqrt5;+\infty)$ $\to f(x)$ đồng biến trên $(1;+\infty)$ $\to \mathop{\min}\limits_{x\in (1;+\infty)}f(x) = f(1) = \dfrac23$ Vậy $m \leq \dfrac23$ Trả lời
Đáp án:
$m \leq \dfrac23$
Giải thích các bước giải:
$y =\dfrac13x^3 – \dfrac12mx^2 – (2m-1)x +\dfrac13$
$y’ = x^2 – mx – 2m +1$
Hàm số đồng biến trên $(1;+\infty)$
$\to y’ \geq 0\quad \forall x \in (1;+\infty)$
$\to x^2 – mx – 2m + 1 \geq 0\quad \forall x \in (1;+\infty)$
$\to m \leq \dfrac{x^2 +1}{x +2}\quad \forall x \in (1;+\infty)$
$\to m \leq \mathop{\min}\limits_{x\in (1;+\infty)}\dfrac{x^2 +1}{x+2}$
Xét $f(x) = \dfrac{x^2 +1}{x+2}$
$f'(x) = \dfrac{x^2 + 4x -1}{(x+2)^2}$
$f'(x) = 0 \to \left[\begin{array}{l}x = -2-\sqrt5 \not\in (1;+\infty)\\x = -2 +\sqrt5 \not\in (1;+\infty)\end{array}\right.$
$\to f(x)$ đồng biến trên $(-2+\sqrt5;+\infty)$
$\to f(x)$ đồng biến trên $(1;+\infty)$
$\to \mathop{\min}\limits_{x\in (1;+\infty)}f(x) = f(1) = \dfrac23$
Vậy $m \leq \dfrac23$