Toán tìm n để 12$n^{2}$ -6n+1 là số chính phương 20/07/2021 By Melody tìm n để 12$n^{2}$ -6n+1 là số chính phương
Đặt T là số nguyên thì 12n2 + 1 là số chính phương lẻ. Đặt \(12n^2+1=\left(2k-1\right)^2,\left(k\in N\right)\) \(\Leftrightarrow12n^2+1=4k^2-4k+1\) \(\Leftrightarrow12n^2=4k^2-4k\) \(\Leftrightarrow3n^2=k\left(k-1\right)\) \(\Leftrightarrow12n^2=4k^2-4k\) \(\Leftrightarrow3n^2=k\left(k-1\right)\) \(\Leftrightarrow k\left(k-1\right)⋮3\Rightarrow k⋮3;k-1⋮3\) +) Nếu \(k⋮3\Rightarrow n^2=\left(\dfrac{k}{3}\right).\left(k-1\right)\). Mà \(\left(\dfrac{k}{3};k-1\right)=1\)nên đặt \(\dfrac{k}{3}=x^2\Rightarrow k=3x^2\) Đặt \(k-1=y^2\Rightarrow k=y^2+1\) \(\Rightarrow3x^2=y^2+1\equiv2\left(mod3\right)\) Vô lý vì 1 số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1. +) Nếu \(k-1⋮3\) \(\Rightarrow n^2=\dfrac{k.\left(k-1\right)}{3}\)mà \(\left(k;\dfrac{\left(k-1\right)}{3}\right)=1\)nên đặt k = z2 và \(\dfrac{\left(k-1\right)}{3}=t^2\) \(\Rightarrow T=…=2+2\left(2k-1\right)=4k=4z^2=\left(2z^2\right)\)là 1 số chính phương => ĐPCM Trả lời
Đặt T là số nguyên thì 12n2 + 1 là số chính phương lẻ.
Đặt \(12n^2+1=\left(2k-1\right)^2,\left(k\in N\right)\)
\(\Leftrightarrow12n^2+1=4k^2-4k+1\)
\(\Leftrightarrow12n^2=4k^2-4k\)
\(\Leftrightarrow3n^2=k\left(k-1\right)\)
\(\Leftrightarrow12n^2=4k^2-4k\)
\(\Leftrightarrow3n^2=k\left(k-1\right)\)
\(\Leftrightarrow k\left(k-1\right)⋮3\Rightarrow k⋮3;k-1⋮3\)
+) Nếu \(k⋮3\Rightarrow n^2=\left(\dfrac{k}{3}\right).\left(k-1\right)\). Mà \(\left(\dfrac{k}{3};k-1\right)=1\)nên đặt \(\dfrac{k}{3}=x^2\Rightarrow k=3x^2\)
Đặt \(k-1=y^2\Rightarrow k=y^2+1\)
\(\Rightarrow3x^2=y^2+1\equiv2\left(mod3\right)\)
Vô lý vì 1 số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1.
+) Nếu \(k-1⋮3\)
\(\Rightarrow n^2=\dfrac{k.\left(k-1\right)}{3}\)mà \(\left(k;\dfrac{\left(k-1\right)}{3}\right)=1\)nên đặt k = z2 và \(\dfrac{\left(k-1\right)}{3}=t^2\)
\(\Rightarrow T=…=2+2\left(2k-1\right)=4k=4z^2=\left(2z^2\right)\)là 1 số chính phương
=> ĐPCM