Toán Tìm nghiệm nguyên của pt 1+x+x^2+x^3+x^4=y^4 x^3-y^3=2xy+8 08/09/2021 By Peyton Tìm nghiệm nguyên của pt 1+x+x^2+x^3+x^4=y^4 x^3-y^3=2xy+8
Đáp án: $(x,y)\in\{(-1,1), (-1,-1)\}$ Giải thích các bước giải: Ta có: $y^4=x^4+x^3+x^2+x+1$ $\to 4y^4=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4$ $\to 4y^4=(4x^4+4x^3+x^2)+2x^2+(x^2+4x+4)$ $\to 4y^4=(2x^2+x)^2+2x^2+(x+2)^2$ $\to 4y^4>(2x^2+x)^2$ Lại có: $4y^4=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4$ $\to 4y^4=(4x^4+4x^3+x^2)+3x^2+4x+4$ $\to 4y^4=(2x^2+x)^2+4(2x^2+x)+4-5x^2$ $\to 4y^4=(2x^2+x+2)^2-5x^2$ $\to 4y^4<(2x^2+x+2)^2$ $\to (2x^2+x)^2<4y^4<(2x^2+x+2)^2$ $\to (2x^2+x)^2<(2y^2)^2<(2x^2+x+2)^2$ $\to (2y^2)^2=(2x^2+x+1)^2$ $\to 4y^4=(2x^2+x+1)^2$ $\to (2x^2+x+1)^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4$ $\to 4x^4+4x^3+5x^2+2x+1=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4$ $\to x^2-2x-3=0$ $\to (x-3)(x+1)=0$ $\to x\in\{-1,3\}$ $\to y^4\in\{1,121\}$ $\to x=-1, y^4=1\to y=\pm1$ Trả lời
Đáp án: $(x,y)\in\{(-1,1), (-1,-1)\}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$y^4=x^4+x^3+x^2+x+1$
$\to 4y^4=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4$
$\to 4y^4=(4x^4+4x^3+x^2)+2x^2+(x^2+4x+4)$
$\to 4y^4=(2x^2+x)^2+2x^2+(x+2)^2$
$\to 4y^4>(2x^2+x)^2$
Lại có:
$4y^4=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4$
$\to 4y^4=(4x^4+4x^3+x^2)+3x^2+4x+4$
$\to 4y^4=(2x^2+x)^2+4(2x^2+x)+4-5x^2$
$\to 4y^4=(2x^2+x+2)^2-5x^2$
$\to 4y^4<(2x^2+x+2)^2$
$\to (2x^2+x)^2<4y^4<(2x^2+x+2)^2$
$\to (2x^2+x)^2<(2y^2)^2<(2x^2+x+2)^2$
$\to (2y^2)^2=(2x^2+x+1)^2$
$\to 4y^4=(2x^2+x+1)^2$
$\to (2x^2+x+1)^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4$
$\to 4x^4+4x^3+5x^2+2x+1=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4$
$\to x^2-2x-3=0$
$\to (x-3)(x+1)=0$
$\to x\in\{-1,3\}$
$\to y^4\in\{1,121\}$
$\to x=-1, y^4=1\to y=\pm1$