Tìm x,y ∈ N để $2^{x}$ + $5^{y}$ là số chính phương

0 bình luận về “Tìm x,y ∈ N để $2^{x}$ + $5^{y}$ là số chính phương”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    TH1: nếu a lẻ:

   =>$a^{2}$ : 4 dư 1

   Có 5 ≡1(mod 4) => 5^y ≡1(mod 4)

   => 2^x chia hết cho 4

   => x ≥2

   Xét x = 2 => 5^y + 4 = a²

   Có a² : 8 dư 0 hoặc 1 hoặc 4

   4 : 8 dư 4

   => 5^y : 8 dư -4 hoặc -3 hoặc 0

   Vì 5^y lẻ => 5^y : 8 dư -3 <=> 5^y : 8 dư 5

   => y=1

        y=2k+1(k∈N)

   Nếu y= 1, x = 2

   Thử lại x = 2, y = 1 (TM)

   Nếu y = 2k + 1 => pt <=> 5^{2k + 1} + 4

   <=> 25^k.5 + 4

   Có 25 ≡1(mod 3)

   => 25^k ≡1(mod 3)

   => 25^k.5 ≡5(mod 3)

   => 25^k.5 + 4 chia hết cho 3

   <=> 5^y + 4 chia hết cho 3

   Vì 5^y + 4 là số chính phương => 5^y + 4 chia hết cho 9

   => 5^y ≡5(mod 9)

   mà 5^y ≡5(mod 8)

   => y = 1

   => x = 2, y = 1(TM)

   TH2 x > 2 <=> x ≥3

   => 2^x chia hết cho 8

   Có a² : 8 dư 0 hoặc 1 hoặc 4

   => 5^y : 8 dư 0 hoặc 1 hoặc 4

   Vì 5^y lẻ => 5^y : 8 dư 1 => y chẵn

   Nếu a² : 3 dư 1

   Có 5^y : 3 dư 1

   => 2^x chia hết cho 3 (vô lý)

   => a² chia hết cho 3

   mà 5^y : 3 dư 1 => 2^x : 3 dư 2

   => x lẻ

   Đặt x = 2m + 1 ( m ∈N )

   => 2^{2m + 1} + 5^y = a²

   <=> 4^m.2 + 5^y = a²

   Có 4^m tận cùng là 4 hoặc 6

   => 4^m.2 tận cùng là 8 hoặc 2

   5^y tận cùng là 5

   => a² tận cùng là 3 hoặc 7 ( vô lý )

   Vậy x = 2, y =1

    

   Bình luận