Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1;0;-1); B(1;2;1); C(3;2;-1); D(2;1;√2-1)
a) Chứng mình rằng ABCD là một tứ diện
b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1;0;-1); B(1;2;1); C(3;2;-1); D(2;1;√2-1) a) Chứng mình rằng ABCD là một tứ diện b) Viết phương trình mặt cầu ngoạ
By Delilah
Lời giải:
\(\begin{array}{l}
A(1;0;-1),\quad B(1;2;1),\quad C(3;2;-1),\quad D(2;1;\sqrt2-1)\\
\Rightarrow \begin{cases}
\overrightarrow{AB} = (0;2;2)\\
\overrightarrow{AC}=(2;2;0)\\
\overrightarrow{AD}=(1;1;\sqrt2)
\end{cases}\\
a)\quad \text{Ta có:}\\
\quad \left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=(-4;4;-4)\\
\Rightarrow \left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right].\overrightarrow{AD}= (-4).1 + 4.1 + (-4).\sqrt2 = -4\sqrt2 \ne 0\\
\Rightarrow A, \ B,\ C,\ D\ \text{không đồng phẳng}\\
\Rightarrow ABCD\ \text{là một tứ diện}\\
b)\quad \text{Gọi $I(a;b;c)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}
IA^2 = IB^2\\
IA^2 = IC^2\\
IA^2 = ID^2
\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}
(a-1)^2 + b^2 + (c+1)^2 = (a-1)^2 + (b-2)^2 + (c-1)^2\\
(a-1)^2 + b^2 + (c+1)^2 = (a -3)^2 + (b-2)^2 + (c+1)^2\\
(a-1)^2 + b^2 + (c+1)^2 = (a -2)^2 + (b-1)^2 + (c+1-\sqrt2)^2
\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}
b + c = 1\\
a +b = 3\\
a +b + \sqrt2c = 3 – \sqrt2
\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}a = 1\\b = 2\\c = -1\end{cases}\\
\Rightarrow \begin{cases}
I(1;2;-1)\\
IA^2 =4
\end{cases}\\
\text{Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$}\\
(S): (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 = 4
\end{array}\)