Với số a b c d nguyên dương chứng minh rằng F=a/(b+c)+ b/(c+d)+ c/(d+a)+ d/(a+b) lớn hơn hoặc bằng 2

0 bình luận về “Với số a b c d nguyên dương chứng minh rằng F=a/(b+c)+ b/(c+d)+ c/(d+a)+ d/(a+b) lớn hơn hoặc bằng 2”

1. Với $x,y>0$, ta có: $(x+y)^{2}≥4xy$

   $⇒\dfrac{1}{xy}≥\dfrac{4}{(x+y)^{2}}$

   Dấu $=$ xảy ra khi $x=y$

   Ta có: $F=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}$

   $⇔F=\dfrac{a^{2}+ad+bc+c^{2}}{(b+c)(a+d)}+\dfrac{b^{2}+ab+cd+d^{2}}{(c+d)(a+b)}$

   $⇔F≥\dfrac{4(a^{2}+ad+bc+c^{2})}{(a+b+c+d)^{2}}+\dfrac{4(b^{2}+ab+cd+d^{2})}{(a+b+c+d)^{2}}$

   $⇔F≥\dfrac{4(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ab+bc+cd+ad)}{(a+b+c+d)^{2}}$

   Gọi $\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ab+bc+cd+ad}{(a+b+c+d)^{2}}=A$

   $⇒F≥4A$

   Ta có: $(a-c)^{2}+(b-d)^{2}≥0$ $(∀a,b,c,d∈Z^{+})$

   $⇔a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-2ac-2bd≥0$

   $⇔2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ab+bc+cd+ad)≥a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ab+2bc+2cd+2ad+2ac+2bd$

   $⇔2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ab+bc+cd+ad)≥(a+b+c+d)^{2}$

   $⇔\dfrac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ab+bc+cd+ad)}{(a+b+c+d)^{2}}≥1$

   $⇔2A≥1$

   $⇔A≥\dfrac{1}{2}$

   $⇔4A≥2$

   $⇔F≥$

   Dấu $=$ xảy ra khi: $\begin{cases}a=c\\b=d\end{cases}$

   Trả lời