a) Chứng minh với mọi x khác 0 ta có: x^2 +1/x^2 -x- 1/x >=0
b) Chứng minh với mọi x >1 ta có: 3(x^2 -1/x^2) <2( x^3 -1/x^3)
a) Chứng minh với mọi x khác 0 ta có: x^2 +1/x^2 -x- 1/x >=0
b) Chứng minh với mọi x >1 ta có: 3(x^2 -1/x^2) <2( x^3 -1/x^3)
Giải thích các bước giải:
a, ∀ x$\neq$0 bpt ⇔ $(x+\dfrac{1}{x})^2-(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}})^2$ $\geq$ 0
⇔ $|x+\dfrac{1}{x}|\geq|\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}|$ ⇔ $\dfrac{x^4+2x^2+1}{x^2}\geq \dfrac{x^2+2x+1}{x}$
⇔ $x^4+2x^2+1\geq x^3+2x^2+x$ ⇔ $x^4+1-x^3-x\geq 0$
⇔ $x(x^3-1)-(x^3-1)\geq 0$ ⇔ $(x^3-1)(x-1)\geq 0$
⇔ $(x^2+x+1)(x-1)^2\geq 0$ đúng ∀x$\neq$0
b, với mọi x >1 bpt ⇔ $3x^3-3x>2x^3-2$ ⇔ $x^3-1-3x+3>0$
⇔ $(x-1)(x^2+x+1-3)>0$ ⇔ $(x-1)(x^2-x+2x-2)>0$
⇔ $(x-1)^2(x+2)>0$ đúng ∀x>1