Cho a và b là 2 số tự nhiên và b > a . Biết a chia cho 4 dư 1 và b chia cho 4 dư 3. Chứng minh b^2 – a^2 chia hết cho 4
*cứuT^T
Cho a và b là 2 số tự nhiên và b > a . Biết a chia cho 4 dư 1 và b chia cho 4 dư 3. Chứng minh b^2 – a^2 chia hết cho 4
*cứuT^T
$\text{a chia 4 dư 1}$
$\text{⇒a=4k+1}$
$\text{b chia 4 dư 3}$
$\text{⇒b=4n+3}$
$\text{b²-a²}$
$\text{=(4n+3)²-(4k+1)²}$
$\text{=16n²+24n+9-(16k²+8k+1)}$
$\text{=16n²+24n+9-16k²-8k-1}$
$\text{=24n-8k+8}$
$\text{=4(6n-2k+2)}$
$\text{4 chia hết cho 4}$
$\text{⇒4(6n-2k+2) chia hết cho 4}$
$\text{Hay b²-a² chia hết cho 4}$
`#AkaShi`
Ta có:
`a=4x+1` (với `x` là số tự nhiên)
`b=4y+3` (với `y` là số tự nhiên)
Ta lại có:
`b^2-a^2=(b-a)(b+a)`
`=(4y+3-4x-1)(4y+3+4x+1)`
`=(4y-4x+2)(4y+4x+4)`
`=2.(2y-2x+2).4.(y+x+1)`
`=2.4.(2y-2x+2)(y+x+1)`
Vì khi bốn nhân với một số nào đó thì số đó chai hết cho `4`
`⇒2.4.(2y-2x+2)(y+x+1) \vdots 4`
`⇒b^2-a^2 \vdots 4`
`⇒đpcm`