Cho biểu thức B = ( (x + √x – 1)/(x√(x )- 1)-(√(x )+ 1)/(x + √x + 1)):1/(√x – 1) (x≥0,x≠9)
a) rút gọn biểu thức B
b) chứng minh B<1/3
c tìm x để B = 1/(2√x+1)
Cho biểu thức B = ( (x + √x – 1)/(x√(x )- 1)-(√(x )+ 1)/(x + √x + 1)):1/(√x – 1) (x≥0,x≠9)
a) rút gọn biểu thức B
b) chứng minh B<1/3
c tìm x để B = 1/(2√x+1)
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
x \ne 1
\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
a,\\
B = \left( {\frac{{x + \sqrt x – 1}}{{x\sqrt x – 1}} – \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right):\frac{1}{{\sqrt x – 1}}\\
= \left( {\frac{{x + \sqrt x – 1}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} – \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right):\frac{1}{{\sqrt x – 1}}\\
= \frac{{x + \sqrt x – 1 – \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}:\frac{1}{{\sqrt x – 1}}\\
= \frac{{x + \sqrt x – 1 – \left( {x – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}:\frac{1}{{\sqrt x – 1}}\\
= \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\left( {\sqrt x – 1} \right)\\
= \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\\
b,\\
B – \frac{1}{3} = \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} – \frac{1}{3} = \frac{{3\sqrt x – \left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{3.\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\
= \frac{{ – \left( {x – 2\sqrt x + 1} \right)}}{{3.\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{ – {{\left( {\sqrt x – 1} \right)}^2}}}{{3.\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} < 0,\,\,\,\forall x \ge 0,x \ne 1\\
\Rightarrow B < \frac{1}{3}\\
c,\\
B = \frac{1}{{2\sqrt x + 1}}\\
\Leftrightarrow \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{1}{{2\sqrt x + 1}}\\
\Leftrightarrow \sqrt x \left( {2\sqrt x + 1} \right) = x + \sqrt x + 1\\
\Leftrightarrow 2x + \sqrt x = x + \sqrt x + 1\\
\Leftrightarrow x = 1
\end{array}\)
Mà \(x = 1\) không thỏa mãn ĐKXĐ nên phương trình trên vô nghiệm.