Cho đường thẳng (d) y = ( m-1).x +2m+1
â) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3 . Vẽ đồ thị hàm số với m vừa
b) Chứng tỏ (d) luôn đi qua điểm cố định với mọi m tìm được và chứng tỏ giao điểm của đồ thị vừa tìm được với đường thẳng (d ‘) y=x+1 nằm trên trục hoành
c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) đạt giá trị lớn nhất
a) Đường thẳng $(d)$ cắt trục tung $Oy: x=0$ tại điểm có tung độ bằng $-3$
$\Rightarrow$ tọa độ điểm $(0;-3)$ thỏa mãn phương trình đường thẳng $(d)$: $-3=(m-1).0+2m+1\Rightarrow m=-2$
Khi đó phương trình đường thẳng $(d)$: $y=-3x-3$
Với $x=0$; $y=-3$
$x=1$; $y=-6$
$x=-1$; $y=0$
Đồ thị hàm số như hình vẽ.
b) $x=-2\Rightarrow y=3$
$\Rightarrow (d)$ luôn đi qua điểm cố định $(-2;3)$
Giao điểm của đường thẳng $(d)$: $y=-3x-3$
với đường thẳng $(d’)$: $y=x+1$
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $-3x-3=x+1$
$\Rightarrow x=-1\Rightarrow y=x+1=-1+1=0$
Giao điểm là $-1;0\in$ trục hoành.
c) Gọi điểm cố định đi qua đường thẳng $(d)$ là $M(-2;3)$
Để khoảng cách từ gốc tọa độ đến $(d)$ là lớn nhất thì $OM\bot(d)$
$\Rightarrow (m-1).\dfrac{-3}{2}=-1\Rightarrow m=\dfrac{5}{3}$.