cho (P) y=$\frac{1}{2}$x ² và đườngthẳng (d) y=mx-$\frac{1}{2}$ m²+$\frac{1}{2}$
tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ$x_{1}$ ;$x_{2}$ thỏa mãn đk $x_{1}$- 2$x_{2}$ =0
cho (P) y=$\frac{1}{2}$x ² và đườngthẳng (d) y=mx-$\frac{1}{2}$ m²+$\frac{1}{2}$ tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ$x_{1}$ ;$x_{2
By Julia
Phương trình hoành độ giao:
$\dfrac{1}{2}x^2=mx-\dfrac{1}{2}m^2+\dfrac{1}{2}$
$\to x^2=2mx-m^2+1$
$\to x^2-2mx+m^2-1=0$
$(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt khi $\Delta’>0$
$\Delta’=m^2-(m^2-1)=1>0\quad\forall m$
$\to$ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Theo Vi-et:
$x_1+x_2=2m$
$x_1x_2=m^2-1$
Mà $x_1-2x_2=0\to x_1=2x_2$
$\to 2x_2+x_2=2m$
$\to x_2=\dfrac{2m}{3}$
$\to x_1=\dfrac{4m}{3}$
Ta có $x_1x_2=m^2-1$
$\to \dfrac{2m}{3}.\dfrac{4m}{3}=m^2-1$
$\to \dfrac{8}{9}m^2-m^2=-1$
$\to m^2=9$
$\to m=\pm 3$
Vậy $m=\pm3$
Đáp án:$m=\pm 3$ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt có hoành độ thỏa mãn giá trị
$x_1-2x_2=0$
Giải thích các bước giải:
Gọi phương trình hoành độ giao điểm $(d)$ và $(P)$ là :
$\dfrac{1}{2}x^2=mx-\dfrac{1}{2}m^2+\dfrac{1}{2}$
$x^2=2mx-m^2+1$
$x^2-2mx+m^2-1
Ta có :
$\Delta’=(m)^2-m^2+1=1>0\forall x$
Theo hệ thức $Vi-ét :$
$\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=m^2-1\end{cases} $
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt có hoành độ thỏa mãn giá trị
$x_1-2x_2=0$
thì : Kết hợp với Hệ thức vi-ét ta có :
$\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1-2x_2=0\\x_1.x_2=m^2-1\end{cases} $
$\Leftrightarrow\begin{cases}3x_2=2m\\x_1=2x_2\\x_1.x_2=m^2-1\end{cases} $
$\Leftrightarrow\begin{cases}x_2=\dfrac{2m}{3}\\x_1=\dfrac{4m}{3}\\x_1.x_2=m^2-1\end{cases} $
$\Leftrightarrow\begin{cases}x_2=\dfrac{2m}{3}\\x_1=\dfrac{4m}{3}\\\dfrac{8m^2}{9}=m^2-1\end{cases} $
$\Leftrightarrow\begin{cases}x_2=\dfrac{2m}{3}\\x_1=\dfrac{4m}{3}\\8m^2=9m^2-9\end{cases} $
$\Leftrightarrow\begin{cases}x_2=\dfrac{2m}{3}\\x_1=\dfrac{4m}{3}\\m^2=9\end{cases} $
$\Leftrightarrow\begin{cases}x_2=\dfrac{2m}{3}\\x_1=\dfrac{4m}{3}\\m=\pm3\end{cases} $
Vậy với $m=\pm 3$ thìphương trình có 2 nghiệm phân biệt có hoành độ thỏa mãn giá trị
$x_1-2x_2=0$