Cho pt :x^2 -(m-2)x-m^2+3m-4=0 A, CMR pt trên có 2 nghiệm trái dấu với Vm B, Gọi 2 nghiệm của pt x1x2 . Tìm M để : x1(x1-2)+x2(x2-2)=7

Đáp án:

a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta  = {\left( {m – 2} \right)^2} – 4.\left( { – {m^2} + 3m – 4} \right)\\
 = {m^2} – 4m + 4 + 4{m^2} – 12m + 16\\
 = 5{m^2} – 16m + 20\\
 = 5.\left( {{m^2} – \frac{{16}}{5}m + 4} \right)\\
 = 5.\left( {{m^2} – 2.\frac{8}{5}m + \frac{{64}}{{25}} + \frac{{36}}{{25}}} \right)\\
 = 5.{\left( {m – \frac{8}{5}} \right)^2} + \frac{{36}}{5} \ge \frac{{36}}{5} > 0\forall m
\end{array}$

Vậy pt luôn có 2 nghiệm phân biể với mọi m

b)

$\begin{array}{l}
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m – 2\\
{x_1}{x_2} =  – {m^2} + 3m – 4
\end{array} \right.\\
Do:{x_1}\left( {{x_1} – 2} \right) + {x_2}\left( {{x_2} – 2} \right) = 7\\
 \Rightarrow x_1^2 – 2{x_1} + x_2^2 – 2{x_2} = 7\\
 \Rightarrow \left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} – 2{x_1}{x_2}} \right) – 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 7\\
 \Rightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} – 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – 7 = 0\\
 \Rightarrow {\left( {m – 2} \right)^2} – 2.\left( { – {m^2} + 3m – 4} \right) – 2\left( {m – 2} \right) – 7 = 0\\
 \Rightarrow 3{m^2} – 12m + 9 = 0\\
 \Rightarrow {m^2} – 4m + 3 = 0\\
 \Rightarrow \left( {m – 1} \right)\left( {m – 3} \right) = 0\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m = 3
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy m=1 hoặc m=3 thì thỏa mãn.