Giúp mình với các cậu thân yêu ~~~~
Cho biểu thức A = $\frac{3\sqrt{x}-6}{x-2\sqrt{x}}$-$\frac{1}{2-\sqrt{x}}$+$\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}$
và B = $\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}$ với x > 0; x $\neq$ 4
Tìm các giá trị nguyên của x để $\sqrt{A.B}$ < $\frac{2}{3}$
Đáp án: $x \in \left\{ {1;2;3;5;6} \right\}$
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}
Dkxd:x > 0;x \ne 4\\
A = \frac{{3\sqrt x – 6}}{{x – 2\sqrt x }} – \frac{1}{{2 – \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x – 3}}{{\sqrt x }}\\
= \frac{{3\sqrt x – 6 + \sqrt x + \left( {\sqrt x – 3} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 2} \right)}}\\
= \frac{{4\sqrt x – 6 + x – 5\sqrt x + 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 2} \right)}}\\
= \frac{{x – \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x – 2}}\\
\Rightarrow A.B = \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x – 2}}.\frac{{\sqrt x – 2}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}}\\
Do:\sqrt {A.B} < \frac{2}{3}\\
\Rightarrow \sqrt {\frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}}} < \frac{2}{3}\\
\Rightarrow \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}} < {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{4}{9}\\
\Rightarrow \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}} – \frac{4}{9} < 0\\
\Rightarrow \frac{{9\sqrt x – 9 – 4\sqrt x – 4}}{{9\left( {\sqrt x + 1} \right)}} < 0\\
\Rightarrow 5\sqrt x – 13 < 0\\
\Rightarrow \sqrt x < \frac{{13}}{5}\\
\Rightarrow x < \frac{{169}}{{25}}\\
Vậy\,0 < x < \frac{{169}}{{25}};x \ne 4\\
\Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;5;6} \right\}
\end{array}$