tìm x,y thuộc N sao , sao cho : 4^x = 1 + 3^y

0 bình luận về “tìm x,y thuộc N sao , sao cho : 4^x = 1 + 3^y”

1. Đáp án:

   $\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)$

   Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $\begin{array}{l}
   {4^x} = 1 + {3^y}\\
    \Leftrightarrow {\left( {{2^2}} \right)^x} = 1 + {3^y}\\
    \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} – 1 = {3^y}\\
    \Leftrightarrow \left( {{2^x} – 1} \right)\left( {{2^x} + 1} \right) = {3^y}
   \end{array}$

   Do $p$ là số nguyên tố và $x,y\in N$ nên luôn tồn tại $m,n$ sao cho:

   $\left\{ \begin{array}{l}
   {2^x} – 1 = {3^m}\\
   {2^x} + 1 = {3^n}
   \end{array} \right.\left( {m + n = y;m,n \in N};m<n \right)$

   Khi đó:

   $\begin{array}{l}
   {3^n} – {3^m} = 2\\
    \Leftrightarrow {3^m}\left( {{3^{n – m}} – 1} \right) = 2\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   \left\{ \begin{array}{l}
   {3^m} = 1\\
   {3^{n – m}} – 1 = 2
   \end{array} \right.\\
   \left\{ \begin{array}{l}
   {3^m} = 2\left( l \right)\\
   {3^{n – m}} – 1 = 1
   \end{array} \right.
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   m = 0\\
   n – m = 1
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   m = 0\\
   n = 1
   \end{array} \right.
   \end{array}$

   Như vậy ta có:

   $\left\{ \begin{array}{l}
   y = m + n\\
   {2^x} – 1 = {3^m}
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   y = 1\\
   x = 1
   \end{array} \right.$

   Vậy $\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)$ là cặp số thỏa mãn đề.

   Trả lời